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本文目录一览：
- 1、快速傅里叶变换的算法类型
- 2、快速傅里叶变换的计算方法
- 3、傅里叶变换公式
- 4、快速傅里叶变换为什么要求1024点，1000点可不可以？
- 5、傅里叶变换，采用FFT好，还是DFT好？
- 6、求快速傅里叶算法的C语言实现代码
快速傅里叶变换的算法类型
FFT算法很多，根据实现运算过程是否有指数因子WN可分为有、无指数因子的两类算法。
有指数因子的算法
经典库利-图基算法 当输入序列的长度N不是素数(素数只能被1而它本身整除）而是可以高度分解的复合数，即N=N1N2N3…Nr时，若N1=N2=…=Nr=2，N=2则N点DFT的计算可分解为N=2×N/2，即两个N/2点DFT计算的组合，而N/2点DFT的计算又可分解为N/2=2×N/4，即两个N/4点DFT计算的组合。依此类推，使DFT的计算形成有规则的模式，故称之为以2为基底的FFT算法。同理，当N=4时，则称之为以4为基底的FFT算法。当N=N1·N2时，称为以N1和N2为基底的混合基算法。
在这些算法中，基2算法用得最普遍。通常按序列在时域或在频域分解过程的不同，又可分为两种：一种是时间抽取FFT算法（DIT），将N点DFT输入序列x(n)、在时域分解成2个N/2点序列而x1(n)和x2(n)。前者是从原序列中按偶数序号抽取而成，而后者则按奇数序号抽取而成。DIT就是这样有规律地按奇、偶次序逐次进行分解所构成的一种快速算法。
分裂基算法(RSFFT) 1984年由P．杜哈美尔和H．赫尔曼等导出的一种比库利图基算法更加有效的改进算法，其基本思想是在变换式的偶部采用基2算法，在变换式的奇部采用基4算法。优点是具有相对简单的结构，非常适用于实对称数据，对长度N=2能获得最少的运算量(乘法和加法），所以是选用固定基算法中的一种最佳折衷算法。
快速傅里叶变换的计算方法
计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。
时间抽取算法 令信号序列的长度为N=2,其中M是正整数，可以将时域信号序列x(n)分解成两部分，一是偶数部分x（2n），另一是奇数部分x（2n+1），于是信号序列x(n）的离散傅里叶变换可以用两个N/2抽样点的离散傅里叶变换来表示和计算。考虑到和离散傅里叶变换的周期性，式⑴可以写成
⑶其中（4a）（4b）由此可见，式⑷是两个只含有N/2个点的离散傅里叶变换，G(k）仅包括原信号序列中的偶数点序列，H(k）则仅包括它的奇数点序列。虽然k=0，1，2，…，N-1，但是G(k）和H(k）的周期都是N/2，它们的数值以N/2周期重复。
因为于是由式⑶和式⑷得到（5a）（5b)
因此，一个抽样点数为N 的信号序列x(n）的离散傅里叶变换，可以由两个 N/2抽样点序列的离散傅里叶变换求出。依此类推，这种按时间抽取算法是将输入信号序列分成越来越小的子序列进行离散傅里叶变换计算，最后合成为N点的离散傅里叶变换。
通常用图1中蝶形算法的信号流图来表示式⑸的离散傅里叶变换运算。例如，N=8=2的抽样点的信号序列x(n）的离散傅里叶变换，可用如图2所示的FET算法的信号流图来计算。
① N=2点的离散傅里叶变换的计算全由蝶形运算组成，需要M级运算，每级包括N/2个蝶形运算，总共有 个蝶形运算。所以，总的计算量为次复数乘法运算和N log2N次复数加法运算。
② FFT算法按级迭代进行，计算公式可以写成
⑹N抽样点的输入信号具有N个原始数据x0(n），经第一级运算后，得出新的N个数据x1(n），再经过第二级迭代运算，又得到另外N个数据x2(n），依此类推，直至最后的结果x(k)=xM(k)=X(k）在逐级迭代计算中，每个蝶形运算的输出数据存放在原来存贮输入数据的单元中，实行所谓“即位计算”，这样可以节省大量存放中间数据的寄存器。
③ 蝶形运算中加权系数随迭代级数成倍增加。由图2可以看出系数的变化规律。对于N=8,M=3情况，需进行三级迭代运算。在第一级迭代中，只用到一种加权系数；蝶形运算的跨度间隔等于1。在第二级迭代中，用到两种加权系数即、；蝶形运算的跨度间隔等于2。在第三级迭代中，用到4种不同的加权系数即、、、；蝶形运算的跨度间隔等于4。可见，每级迭代的不同加权系数的数目比前一级迭代增加一倍；跨度间隔也增大一倍。
④ 输入数据序列x(n）需重新排列为x(0）、x⑷、x⑵、x⑹、x⑴、x⑸、x⑶、x⑺，这是按照二进制数的码位倒置所得到的反序数，例如N=8中数“1”的二进制数为“001”，将其码位倒转变为“100”，即为十进制数“4”。
频率抽取算法 按频率抽取的 FFT算法是将频域信号序列X(k）分解为奇偶两部分，但算法仍是由时域信号序列开始逐级运算，同样是把N点分成N/2点计算FFT，可以把直接计算离散傅里叶变换所需的N次乘法缩减到次。
在N=2的情况下，把N点输入序列x(n）分成前后两半
⑺
时间序列x1(n）±x2(n）的长度为N/2，于是N点的离散傅里叶变换可以写成
（8a)
（8b)
频率信号序列X（2l）是时间信号序列x1(n)+x2(n）的N/2点离散傅里叶变换，频率信号序列X（2l+1）是时间信号序列【x1(n)-x2(n）】的N/2点离散傅里叶变换，因此，N点离散傅里叶变换的计算，通过两次加（减）法和一次乘法，从原来序列获得两个子序列，所以，频率抽取算法也具有蝶形运算形式。以2为基数的FFT基本蝶形运算公式为
⑼
其计算量完全和时间抽取算法一样，即只需次乘法运算和Nlog2N次加（减）法运算。图3 表示N=8=2点的离散傅里叶变换的信号流图。由图可见，它以三级迭代进行即位计算，输入数据是按自然次序存放，使用的系数也是按自然次序，而最后结果则以二进制反序存放。
实际上，频率抽取算法与时间抽取算法的信号流图之间存在着转置关系，如将流图适当变形，可以得出多种几何形状。
除了基2的FFT算法之外，还有基4、基8等高基数的FFT算法以及任意数为基数的FFT算法。
傅里叶变换公式
1、公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数。 2、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 3、相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。
快速傅里叶变换为什么要求1024点，1000点可不可以？
根据采样需要也可以更少，比如512点,128点，64点。
都是2的次方，为的是方便处理器计算。1000点也行，不过那是自己找麻烦。
傅里叶变换，采用FFT好，还是DFT好？
大数据量的话，当然是fft了。其实FFT就是DFT的快速算法，两者是一样的。只不过FFT运算速度更快
求快速傅里叶算法的C语言实现代码
这是源于 Numerical Recipes 的关键性的函数，我曾使用过（书本可能有印刷错误，这里给的没有错误）。我不可能给你在这里讲解语句功能，你可以查原书。
isign 1 或 0 是正变换和反变换。调用前，要自己去掉 mean，尾部要自己 padding ( 最简单添0），时间域 和 频率 域 要自己 滤波。 nn 必须是2的整数次方，例如1024，4096。
#define SWAP(a,b) tempr=(a);(a)=(b);(b)=tempr
void jfour1(float ya[], unsigned long nn, int isign)
{
unsigned long n,mmax,m,j,istep,i;
double wtemp,wr,wpr,wpi,wi,theta;
float tempr,tempi;
n=nn 1;
j=1;
for (i=1;in;i+=2) {
if (j i) {
SWAP(ya[j],ya[i]);
SWAP(ya[j+1],ya[i+1]);
}
m=n 1;
while (m = 2 j m) {
j -= m;
m = 1;
};
j += m;
};
mmax=2;
while (n mmax) {
istep=mmax 1;
theta=isign*(6.28318530717959/mmax);
wtemp=sin(0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi=sin(theta);
wr=1.0;
wi=0.0;
for (m=1;mmmax;m+=2) {
for (i=m;i=n;i+=istep) {
j=i+mmax;
tempr = wr * ya[j]- wi * ya[j+1];
tempi = wr * ya[j+1] + wi * ya[j];
ya[j] = ya[i] - tempr;
ya[j+1] = ya[i+1] - tempi;
ya[i] += tempr;
ya[i+1] += tempi;
};
wr = (wtemp=wr) * wpr - wi * wpi + wr;
wi = wi * wpr + wtemp * wpi + wi;
};
mmax=istep;
};
}
#undef SWAP
void jrealft(float ya[], unsigned long n, int isign)
{
void jfour1(float ya[], unsigned long nn, int isign);
unsigned long i,i1,i2,i3,i4,np3,n05;
float c1=0.5,c2,h1r,h1i,h2r,h2i;
double wr,wi,wpr,wpi,wtemp,theta;
n05 = n 1;
theta=3.141592653589793/(double) (n05);
if (isign == 1) {
c2 = -0.5;
jfour1(ya,n05,1);
} else {
c2=0.5;
theta = -theta;
};
wtemp=sin(0.5*theta);
wpr = -2.0*wtemp*wtemp;
wpi=sin(theta);
wr=1.0+wpr;
wi=wpi;
np3=n+3;
for (i=2;i=(n2);i++) {
i4=1+(i3=np3-(i2=1+(i1=i+i-1)));
h1r = c1 * (ya[i1] + ya[i3]);
h1i = c1 * (ya[i2] - ya[i4]);
h2r = -c2* (ya[i2] + ya[i4]);
h2i = c2 * (ya[i1] - ya[i3]);
ya[i1] = h1r + wr * h2r - wi * h2i;
ya[i2] = h1i + wr * h2i + wi * h2r;
ya[i3] = h1r - wr * h2r + wi * h2i;
ya[i4] = -h1i + wr * h2i + wi * h2r;
wr= (wtemp=wr) * wpr - wi * wpi + wr;
wi=wi * wpr + wtemp * wpi + wi;
};
if (isign == 1) {
ya[1] = (h1r=ya[1]) + ya[2];
ya[2] = h1r-ya[2];
} else {
ya[1] = c1 * ((h1r=ya[1]) + ya[2]);
ya[2]=c1 * (h1r - ya[2]);
jfour1(ya,n05,-1);
}
}
